lunes, abril 10, 2006

0.999... = 1

El otro día encontré en qntm.org una chorradita que me ha dejado en un estado de shock del que todavía no me he recuperado. Resulta que 0.9 periodico es igual 1. No, no es un truco, es cierto, y se puede probar lógica y matemáticamente.
La prueba más intuitiva es la siguiente. Todo el mundo sabe (o debería saber) que hay infinitos numeros reales. La recta real es continua: si coges 2 números reales, siempre podras tomar otro número real que se encuentre entre ellos 2. Si tomamos el 1 y el 2, un numero entre ellos es el 1.5, o el 1.87. Y entre esos 2, podemos tomar el 1.689 o el 1.6891. Y entre esos 2, podemos tomar el 1.68902. Hasta aqui todo en orden... Pero tomemos por ejemplo el 0.9 periódico y el 1. Pensemos ahora un número real entre ellos... No existe. El 0.9 periódico tiene infinitos nueves en la parte decimal, por lo que no podemos añadirle nada detras, no hay sitio para hacerlo. Luego si no hay numeros entre 0.9 periódico y 1, entonces no pueden ser números distintos, deben ser el mismo número.

Que, choca ¿eh? Pues si todavía no os lo creeis, aquí teneis algunas demostraciones matemáticas:

Dem.1: Esto es lo de arriba pero escrito en matemático.
Claramente 0.9999... ≤ 1.
Supongamos que 0.9999... ≠ 1 (*),
En ese caso, no nos queda otra que 0.9999... < 1,
por tanto, debe existir un número real positivo P tal que 0.9999... + P = 1.
Pero sin embargo, para cualquier P real positivo que tomemos, nos queda que 0.9999... + P > 1,
Luego lo que hemos asumido en (*) era falso, y se tenemos por tanto que 0.9999... = 1

Dem.2:
x = 0.9999...
10x = 9.9999...
10x - x = 9.9999... - 0.9999...
9x = 9.0000...
9x = 9
x = 1

Dem.3:
Estamos de acuerdo en que 1/3 = 0.3333...
1 = 3/3
= 3 * 1/3
= 3 * 0.3333...
= 0.9999...

Dem.4:
x = 0.9999...

= 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ...

= 9·0.1 + 9·0.01 + 9·0.001 + 9·0.0001 + ...

= 9·10-1 + 9·10-2 + 9·10-3 + 9·10-4 + ...

n=∞
= Σ 9·10^-n (nota: "^" significa elevado a)
n=1

n=N
:= lim Σ 9·10^-n
N→∞ n=1

= lim ( 1 - 10^-N )
N→∞

= lim 1 - lim 10^-N
N→∞ N→∞

= 1 - 0
= 1

Articulo original (en ingles) aquí

4 comentarios:

Soko dijo...

Dios :s mi mundo matemático (escaso y primitivo) se derrumba por momentos, kien no me dise ahora ke todo lo ke me an enseñado es mentira? por ahora es lo ke nos dicen nuestros profesores de matemáticas, ke es mentira lo ke a nosotros nos enseñan pero nos debe bastar con saber las verdades a medias..... si los cientificos nos conformamos con las verdades a medias y somos nosostros kienes arreglamos y acemos cosas en el mundo, cosas tangibles.... como es el mundo de seguro?

yukaritakiyaki dijo...

No me lo he leido, pero me da la impresión que es algo Tremendamente Friki xDDD

JAGT dijo...

Yo te afirmo (a Soko) que todo lo que te han enseñado los profesores de matemáticas es cierto.

La filosofía cartesiana nos muestra dos verdades evidentes que no podemos negar: Que existimos, ya que pensamos ("Pienso, luego existo") y las matemáticas.

Lo cierto es que si dejaramos de existir, explotara el sol y/o desapareciera el universo, 2 + 2 seguirán siendo 4. Las matemáticas se caracterizan en que emiten juicios universales y necesarios.

Esta curiosidad no contradice ninguna verdad matemática... Sólo hay que entenderla :)

Lc dijo...

Entonces siguiendo esa línea de pensamiento...
¿No sería 0.33333... = a 0,34?
¿Para que existen los periódicos?